Pièces pour l'industrie et défaut

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une entreprise produit des pièces pour l’industrie. Dans un important stock de ces pièces, on en prélève trois au hasard pour vérification. Le stock est assez important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On appelle \(\text{D}\) l’événement : « la pièce prélevée présente un défaut ».
On suppose que la probabilité de \(\text{D}\) est de \(2\; \%\).
On note \(\overline{\text{D}}\) l’événement contraire de l’événement \(\text{D}\).
On considère la variable aléatoire \(X\) qui, à tout prélèvement de trois pièces, associe le nombre
de pièces présentant un défaut.

1. Construire un arbre pondéré illustrant cette situation.
2. Justifier que \(P(X = 2)\) est proche de \(0{,}001\).

Le service qualité de l’entreprise effectue un nouveau prélèvement de \(100\) pièces dans ce stock dans les mêmes conditions. On considère la variable aléatoire \(Y\) qui, à tout prélèvement de \(100\) pièces, associe le nombre de pièces réalisant \(\text{D}\).
On admet que \(Y\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(100~;0{,}02)\) de paramètres \(n\) égal à \(100\) et \(p\) égal à \(0{,}02\).

3. Si on représentait un arbre pondéré illustrant cette nouvelle situation, combien de chemins de l’arbre réaliseraient l’événement \(Y=3\) ?
4. Calculer \(P(Y\leqslant2)\). Arrondir au millième près.
5. Calculer l’espérance de \(Y\) et interpréter sa valeur selon le contexte de l’exercice.